Strategia · 8 min

Kryterium Kelly'ego w doborze wielkości bonusu — ile bankrolla przeznaczyć na ofertę

Kryterium Kelly'ego mówi, jaką część bankrolla postawić, gdy znasz edge. Oto jak przekłada się na grę bonusową w kasynie — gdzie edge jest zmierzony, cienki i ograniczony w czasie.

Dlaczego dobór stawki to brakująca dźwignia

Łowcy bonusów spędzają godziny na wyborze oferty i prawie zero czasu na wyborze stawki. To odwrotna kolejność. Dwóch graczy z tym samym edge na tym samym bonusie może zakończyć miesiąc z drastycznie różnymi bankrollami — bo ten, który przestawia, zostaje zmielony przez wariancję, zanim edge się ujawni.

Kryterium Kelly’ego to odpowiedź na pytanie „ile ryzykować na jedną szansę o dodatniej EV?”. Zostało wyprowadzone w Bell Labs przez Johna Kelly’ego (1956) i później skodyfikowane przez Eda Thorpa dla blackjacka. Działa też — z poprawkami — dla gry bonusowej w kasynie i jest regułą wymiarowania, której Kreator Portfolio używa pod maską.

Jedyny wzór

Dla zakładu o prawdopodobieństwie p wygrania b jednostek na jednostkę stawki (i prawdopodobieństwie 1 − p utraty stawki), optymalny dla wzrostu ułamek bankrolla do zaryzykowania to:

f* = (bp − q) / b        gdzie q = 1 − p

Równoważnie, gdy EV i wariancja są naturalnymi wejściami (a przy bonusach są):

f* ≈ EV / Var

Tę wersję warto zapamiętać. Optymalny ułamek bankrolla, który przeznaczasz na bonus, to jego wartość oczekiwana podzielona przez wariancję.

Odczyt w kategoriach bonusowych

Dla bonusu match dostajesz:

EV — wartość oczekiwana oferty w Monte Carlo dla twojego planowanego poziomu stawki. Publikowana w każdej karcie danych CasiMath jako kwota w euro (np. EV = +€12,40).
Var — wariancja wyniku po odegraniu obrotu. Slot o wysokiej zmienności przy dużym mnożniku obrotu produkuje ogromną wariancję; sloty o niskiej zmienności przy niskim obrocie dają wariancję umiarkowaną.

Podziel EV przez Var, a otrzymasz ułamek całego bankrolla, który oferta optymalnie zajmuje.

Rozpisany przykład. Bonus depozytowy €100 z EV = +€8 i wariancją wyniku σ² = €6 400 (bardzo zwyczajny bonus wysokiej zmienności).

f* = 8 / 6 400 = 0,00125 = 0,125% bankrolla

Jeśli twój całkowity bankroll na hazard to €10 000, oferta jest skrojona na twoją miarę: €10 000 × 0,125% = €12,50 wpłaty. Jeśli twój bankroll to €800, oferta jest przewymiarowana o rząd wielkości — nawet jeśli EV jest technicznie dodatnia.

To jest brutalne przesłanie Kelly’ego: dodatnia EV nie znaczy grywalna przy dowolnej wielkości.

Reguła połowicznego Kelly’ego (i dlaczego jest naszym domyślnym ustawieniem)

Pełne Kelly to ułamek optymalny dla wzrostu pod warunkiem, że twoje estymaty EV i Var są doskonale poprawne. Nigdy nie są. Konsekwencje przeszacowania EV są dotkliwe — pełne Kelly na źle zmierzonym edge produkuje długoterminowe straty nawet wtedy, gdy surowa matematyka wygląda dodatnio.

Standardem branżowym jest połowiczne Kelly: stawiaj 0,5 × f* zamiast pełnego ułamka. Oddajesz ≈25% tempa wzrostu w zamian za wariancję drawdownu obciętą mniej więcej o połowę. Dla bonusów kasynowych — gdzie estymata EV jest uczciwa, ale nieprecyzyjna, a liczba równoległych edge’y jest mała — połowiczne Kelly to właściwe ustawienie domyślne.

Kreator Portfolio w CasiMath wychodzi z fabryki z 0,5× jako zalecaną wielkością. Jeśli wiesz, że twój błąd modelu jest mały, możesz podnieść w kierunku 0,7–0,8. Jeśli dopiero zaczynasz z łowieniem bonusów, obniż ułamek do 0,25.

Gdzie Kelly się załamuje przy grze kasynowej

Trzy realne ograniczenia, które robią z bonusów kasynowych zmodyfikowany problem Kelly’ego, a nie surowy:

Minimalne depozyty. Kelly mówi „przeznacz na tę ofertę €12”, ale minimalny depozyt kasyna to €20. Jeśli minimum jest większe niż 2× twój ułamek Kelly’ego, odpuść ofertę — jesteś przewymiarowany z reguły, nie z wyboru. To najczęstszy sposób, w jaki małe bankrolle są niszczone na indywidualnie dodatnich bonusach.
Blokada czasowa obrotu. Kelly zakłada niezależne, rozstrzygalne zakłady. Obrót bonusowy blokuje stawkę na czas trwania przegrywania — nie możesz przekierować tego kapitału gdzie indziej, dopóki bonus jest aktywny. Oferta optymalna po Kellym z 30-dniową ważnością wiąże bankroll inaczej niż taka z 24 godzinami.
Skorelowane oferty. Dwa bonusy od tego samego operatora albo dwa warianty tej samej oferty w różnych kasynach nie są niezależne — ten sam katalog, ta sama wariancja, czasem to samo ryzyko regulacyjne. Sumuj ich ułamki Kelly’ego ostrożnie.

Tabela wymiarowania CasiMath (wersja regułą kciuka)

Nie każdy odpala Monte Carlo przed każdą wpłatą. Ta ściągawka łapie 80% odpowiedzi:

Verdict	Obrót	Sugerowana wpłata jako % bankrolla
CLAIM (EV > 0)	≤ 30×	0,5–1,0%
CLAIM (EV > 0)	30–45×	0,25–0,5%
NEUTRAL (EV −15 do 0, clearance > 25%)	≤ 40×	0,1–0,25% (tylko budżet rozrywkowy)
SKIP	dowolny	0%

Dwie barierki nad tabelą:

Nigdy nie wpłacaj więcej niż 2% całego bankrolla na jedną ofertę, choćby EV było fenomenalne. Ryzyko koncentracji bije matematykę.
Nigdy nie goń wymuszonego minimalnego depozytu. Jeśli min-dep > 2% bankrolla, ta oferta nie jest dla ciebie. Poczekaj na taką, która będzie.

Jak to wpina się w resztę frameworku

Przewodnik po zarządzaniu bankrollem to twoja podłoga sesji — Kelly siedzi piętro wyżej i mówi, jak alokować pomiędzy ofertami.
Przewodnik po zmienności i wariancji wyjaśnia, dlaczego termin Var dominuje wzór. Podwojenie zmienności połowi twój ułamek Kelly’ego.
Przewodnik po wymogach obrotu to źródło terminu blokady czasowej — wysoki obrót nie tylko obniża EV, ale też blokuje ponowną alokację.
Kreator Portfolio stosuje połowiczne Kelly automatycznie na całym twoim stacku aktywnych bonusów i ostrzega, gdy koncentracja dobija do sufitu 2%.

Ruch CasiMath

Publikujemy EV, wariancję i clearance na każdej ofercie. Kelly zamienia te trzy liczby w wielkość wpłaty, która hoduje bankroll zamiast go ścierać. Dodatnia EV bez poprawnego wymiarowania to powolna ruina przebrana za strategię — a poprawna wielkość jest prawie zawsze mniejsza niż minimalny depozyt, który kasyno zaprojektowało tak, żebyś czuł.